El estudio de las ecuaciones diferenciales es una hermosa aplicación de las ideas y procedimientos del cálculo a nuestra vida cotidiana. Podría decirse que el cálculo fue desarrollado básicamente para que los principios que gobiernan muchos fenómenos pudieran ser expresados en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Desafortunadamente, fue difícil transmitir la belleza del tema en el tradicional primer curso sobre ecuaciones diferenciales, porque el número de ecuaciones que pueden tratarse con procedimientos analíticos es muy limitado. En consecuencia, el curso se enfocó más en los procedimientos que en los conceptos.
Este libro es una consecuencia de nuestra opinión de que ahora podemos efectuar una revisión radical y abordamos nuestro curso actualizado con varias metas en mente. En primer lugar, el énfasis tradicional en ardides y procedimientos especializados para resolver ecuaciones diferenciales ya no es apropiado, dada la tecnología disponible. En segundo lugar, muchas de las ecuaciones diferenciales más importantes no son lineales y los procedimientos numéricos y cualitativos son más efectivos que los analíticos para estos casos. Finalmente, el curso de ecuaciones diferenciales es uno de los pocos cursos a nivel de licenciatura donde es posible dar a los estudiantes una breve visión de la naturaleza de la investigación matemática contemporánea.
Los enfoques cualitativo, numérico y analítico
De acuerdo con ello, este libro se desvía radicalmente del típico texto “recetario de cocina” sobre ecuaciones diferenciales. Hemos eliminado la mayor parte de los procedimientos especializados para obtener fórmulas de soluciones y los hemos reemplazado con temas que se centran en la formulación de ecuaciones diferenciales y la interpretación de sus soluciones. A fin de adquirir un entendimiento de éstas, resolvemos una ecuación desde tres puntos de vista diferentes.
El principal enfoque que adoptamos es cualitativo. Esperamos que los estudiantes sean capaces de visualizar las ecuaciones diferenciales y sus soluciones de muchas maneras geométricas. Por ejemplo, usamos campos de pendientes, gráficas de soluciones, campos vectoriales y curvas solución en el plano fase como herramientas para un mejor entendimiento de las soluciones. También pedimos a los estudiantes que adquieran destreza para moverse entre las representaciones geométricas y analíticas más tradicionales.
Como el estudio de las ecuaciones diferenciales resulta más fácil usando la computadora, también hacemos énfasis en los procedimientos numéricos. Suponemos que los estudiantes tienen algún acceso a procedimientos tecnológicos que facilitan la aproximación a las soluciones y a las gráficas de esas soluciones. Aun cuando podemos encontrar una fórmula explícita para una solución, a menudo trabajamos numérica y cualitativamente con la ecuación para entender la geometría y el comportamiento a largo plazo de las soluciones. Cuando podemos encontrar soluciones explícitas fácilmente (como en el caso de ecuaciones separables de primer orden o sistemas lineales de coeficientes constantes), efectuamos los cálculos. Pero nunca dejamos de examinar las fórmulas resultantes que obtenemos también con los puntos de vista cualitativo y numérico.
Contenido:
1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1.1 Modelación por medio de ecuaciones diferenciales 2
1.2 Procedimiento analítico: separación de variables 19
1.3 Procedimiento cualitativo: campos de pendientes 35
1.4 Técnica numérica: método de Euler 52
1.5 Existencia y unicidad de las soluciones 63
1.6 Equilibrios y línea de fase 74
1.7 Bifurcaciones 93
1.8 Ecuaciones diferenciales lineales 107
1.9 Cambio de variables 117
Laboratorios para el capítulo 1 132
2 Sistemas de Primer Orden
2.1 Modelación por medio de sistemas 140
2.2 Geometría de sistemas 156
2.3 Métodos analíticos para sistemas especiales 173
2.4 Método de Euler para sistemas 184
2.5 Ecuaciones de Lorenz 198 Laboratorios para el capítulo 2 207
3 Sistemas Lineales
3.1 Propiedades de sistemas lineales y el principio de linealidad
3.2 Soluciones de línea recta 235
3.3 Planos fase para sistemas lineales con eigenvalores reales
3.4 Eigenvalores complejos 264
3.5 Casos especiales: eigen valores repetidos y cero 282
3.6 Ecuaciones lineales de segundo orden 297
3.7 El plano traza-determinante 312
3.8 Sistemas lineales tridimensionales 325
Laboratorios para el capítulo 3 341
4 Forzamiento y Resonancia
4.1 Osciladores armónicos forzados 348
4.2 Forzamiento senoidal 362
4.3 Forzamiento no amortiguado y resonancia 373
4.4 Amplitud y fase del estado permanente 385
4.5 El puente del estrecho de Tacoma 391
Laboratorios para el capítulo 4 401
5 Sistemas no Lineales
5.1 Análisis del punto de equilibrio 404
5.2 Análisis cualitativo 422
5.3 Sistemas hamiltonianos 434
5.4 Sistemas disipativos 453
5.5 Sistemas no lineales en tres dimensiones 470
5.6 Forzamiento periódico de sistemas no lineales y caos 477
Laboratorios para el capítulo 5 493
6 Transformadas de Laplace
6.1 Transformadas de Laplace 498
6.2 Funciones discontinuas 510
6.3 Ecuaciones de segundo orden 519
6.4 Funciones delta y forzamiento de impulso 533
6.5 Convoluciones 541
6.6 Teoría cualitativa de las transformadas de Laplace 549
Laboratorios para el capítulo 6 558
7 Métodos Numéricos
7.1 Errores numéricos en el método de Euler 562
7.2 Como mejorar el método de Euler 574
7.3 El método de Runge-Kutta 582
7.4 Los efectos de la aritmética finita 592
Laboratorios para el capítulo 7 596
8 Sistemas Dinámicos Discretos
8.1 La ecuación logística discreta 600
8.2 Puntos fijos y puntos periódicos 612
8.3 Bifurcaciones 621
8.4 Caos 630
8.5 Caos en el sistema de Lorenz 638
Laboratorios para el capítulo 8 644
Apéndice A
Revisión de ecuaciones lineales de primer orden 650
Apéndice B
Números complejos y fórmula de Euler 661
Sugerencias y respuestas 665 índice 725
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