Ésta es la primera parte de un curso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias que no presupone ningún conocimiento sobre la materia y que pretende llegar a transmitir algo del espíritu de los problemas y métodos actuales que en ella se plantean.
Los requisitos para seguir este curso no pasan de un conocimiento de los elementos del álgebra lineal (esto, en particular, para esta primera parte) y del cálculo de funciones de una y varias variables, propio de un razonable primer año de enseñanza superior. En los apéndices 2 y 3 que seguirán a la segunda parte del curso se resumen, para comodidad del lector, algunos de los conceptos y resultados que se precisan de ambas disciplinas.
El curso comienza con una introducción en la que se van dando las primeras definiciones y se intenta describir el origen, el interés en las aplicaciones y las principales cuestiones que se plantean a propósito de las ecuaciones diferenciales. Su lectura es deseable antes de iniciar el estudio del capítulo I, aunque no se comprendan en una primera lectura todas las alusiones e implicaciones contenidas en ella. Además de irse familiarizando con los términos del argot de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, se pretende también una primera «impregnación» de lo que son sus ideas fundamentales.
El orden de los capítulos responde, desde luego, a un desarrollo coherente de la disciplina, pero también al objetivo de que el texto pueda ser utilizado en cursos de distinta longitud y profundidad. Así, por ejemplo, un curso elemental podría constar del capítulo 1, el primer apartado del capítulo 2 y los capítulos 3 y 4, junto con lo que será el capítulo 7, dedicado a las ecuaciones no lineales escalares (que, naturalmente, podría verse a continuación del capítulo 1).
Contenido:
Prólogo
Introducción
1. Ecuaciones lineales de primer orden
1.1 Solución general y problema de valor inicial
1.2. Modelos lineales
Problemas
2. Sistemas de ecuaciones lineales: teoría general
2.1. El problema de valor inicial. Estructura del conjunto de soluciones
2.2. Demostración del teorema fundamental de existencia y unicidad
2.3. Matrices fundamentales
2.4. Sistemas lineales no homogéneos. La fórmula de variación de las constantes
2.5. La ecuación diferencial de orden n
Problemas
3. Sistemas lineales con coeficientes constantes I: matrices diagonalizables
3.1. Autovalores reales distintos. Matrices simétricas
3.2. Autovalores complejos
Problemas
4. Sistemas lineales con coeficientes constantes II: sistemas planos. Ecuaciones lineales de segundo orden
4.1. Autovalores dobles
4.2. Trayectorias de un sistema de ecuaciones diferenciales
4.3. Diagramas de fases de los sistemas planos
4.4. Ecuaciones lineales de segundo orden
4.5. Aplicaciones: oscilaciones mecánicas y eléctricas. Economía
Problemas
5. Sistemas lineales con coeficientes constantes III: el caso general
5.1. Exponencial de una matriz
5.2. Cálculo de exp (AT). Forma canónica de Jordán
5.3. Cálculo de la forma canónica de una matriz
5.4. Ecuaciones lineales de orden n
Problemas
6. Comportamiento cualitativo de las soluciones de un sistema lineal
6.1. Atractores y fuentes
6.2. Sistemas hiperbólicos
6.3. Soluciones acotadas. Soluciones periódicas
6.4. Sistemas no autónomos
6.5. Sistemas periódicos
Problemas
Soluciones de los problemas
Referencias
Índice analítico
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