Uno de los conceptos matemáticos más importantes es el de ecuación diferencial. A partir de una ecuación diferencial se pueden hallar funciones cuyas derivadas (o diferenciales) satisfacen ciertas condiciones preestablecidas. Una ecuación diferencial obtenida como resultado de la investigación de un fenómeno o proceso real cualquiera, se llama modelo diferencial del fenómeno o proceso.
Es claro que los modelos diferenciales son casos particulares del conjunto de todos los modelos matemáticos que pueden construirse al estudiar el mundo que nos rodea.
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Debemos subrayar que los modelos diferenciales tienen su propia clasificación. Nosotros examinaremos únicamente los modelos diferenciales representados por las llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias, las cuales se caracterizan por el hecho de que las funciones incógnitas presentes en ellas dependen de una sola variable.
Al construir los modelos diferenciales ordinarios (y no sólo ellos) es de gran importancia, y a veces tiene un valor primordial, el conocimiento de las leyes propias de la rama de la ciencia con la cual está relacionado el problema examinado. Por ejemplo, en la mecánica tales leyes pueden ser las leyes de Newton; en la teoría de circuitos eléctricos, las leyes de Kirchhofí; en la teoría de las reacciones químicas, la ley de acción de masas; etcétera.
Por supuesto, en la práctica se suelen presentar problemas para los que no se conocen leyes que permitan construir las ecuaciones diferenciales que los describen. En esos casos, una alternativa es recurrir a suposiciones (hipótesis) sobre el comportamiento del proceso para variaciones pequeñas de los parámetros (variables) que lo determinan. Pasando posteriormente al límite se llega a una ecuación diferencial. Si al actuar de esta manera los resultados obtenidos del análisis de la ecuación diferencial concuerdan con los datos experimentales, entonces se puede afirmar que las hipótesis hechas sobre el problema inicial reflejan correctamente su estado real.
Al elaborar este libro, el autor se fijó dos objetivos. El primero es mostrar mediante ejemplos tomados de diferentes ramas de la ciencia (ejemplos con contenido y no meramente ilustrativos) las posibilidades del empleo de las ecuaciones diferenciales ordinarias en el estudio de la realidad que nos rodea. Claro está, los ejemplos examinados están lejos de abarcar todo el conjunto de preguntas que se pueden contestar utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias. Pero, en primer lugar, “nadie puede abarcar lo inabarcable”, y en segundo, las situaciones analizadas aquí ya dan una idea del papel que desempeñan las ecuaciones diferenciales ordinarias en la resolución de problemas prácticos.
Contenido:
Capítulo 1: Construcción y solución de modelos diferenciales
1. ¿Cuál café está más caliente?
2. Flujo estación año de calor
3. Muerte en la reserva
4. Fuga de un líquido por un orificio. Reloj de agua
5. Eficacia de la publicidad
6. Oferta y demanda
7. Reacciones químicas
8. Modelos diferenciales en ecología
9. Un problema de la teoría matemática de epidemias
10. Curva del perro (curva de persecución)
11. Modelos de operaciones militares
12. ¿Por qué los relojes de péndulo no son exactos?
13. Reloj cicloidal
14. Problema de la braquistocrona
15. Medía aritmética, media geométrica y ecuaciones diferenciales
16. Vuelo parabólico
17. Ingravidez o gravedad cero
18. Leyes de Kepler del movimiento planetario
19. Flexión de una viga
20. Transporte de madera
Capítulo 2: Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales
1. Curvas a lo largo de las cuales la dirección de la aguja magnética no varía
2. ¿Necesitan los Ingenieros los teoremas de existencia y unicidad?
3. Interpretación dinámica de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
4. Sistemas mecánicos conservativos
5. Estabilidad de los puntos de equilibrio y de los movimientos periódicos
6. Funciones energéticas
7. Estados simples de equilibrio
8. Movimiento en un medio con rozamiento lineal
9. Flujo adiabático en una tobera
10. Puntos de equilibrio de orden superior
11. Inversión y coordenadas homogéneas
12. Flujo de un gas Ideal en un conducto rotatorio de diámetro constante
13. Trayectorias cerradas aisladas
14. Regímenes periódicos en circuitos eléctricos
15. Curvas sin contacto
16. Sistema topográfico de curvas. Curvas de contacto
17. Divergencia del campo vectorial y ciclos límites
Apéndice
Índice de materia
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