Este libro describe los métodos numéricos aplicados que aprenden los estudiantes de ingenierIa y de ciencias pertenecientes a una amplia gama que abarca desde el Segundo año de la licenciatura hasta el primero del posgrado. Los primeros nueve capitulos se basan en el material que he enseñado en dos cursos introductorios de métodos numéricoS. Los ültimos cuatro se apoyan en el material enseñado a nivel de posgrado, aunque las primeras secciones de los Ultimos cuatro capitulos se han escrito de manera que resultan comprensibles a los estudiantes de licenciatura de los niveles superiores.
La importancia de los métodos numéricos ha aumentado de forma drástica en la enseñanza de La ingenieria y Ia ciencia, lo cual refleja el uso actual y sin precedentesde Las computadoras. Al aprender los métodos numéricos, nos volvemos aptospara: 1) entender esquemas numéricos a fin de resolver probiemas matemáticos, deingenierIa y cientificos en una computadora; 2) deducir esquemas numéricos bãsicos; 3) escribir programas y resolverlos en una computadora, y 4) usar correctamente el software existente para dichos métodos. El aprendizaje de los métodos numéricos no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras, también amplia la pericia matemática y Ia comprensiOn de los principios cientificos básicos. En mi opinión, los métodos numéricos son más benéficos Si SU enseñanza comienza en el segundo aflo de la licenciatura.
Contenido:
Programas, VII
Prefacio, ix
Antes de leer y usar los programas de este libro, XIII
Causas principales de errores en los métodos numéricos, 1
1.1 Introducción, 1
1.2 Series de Taylor, 1
1.3 Números en las computadoras, 5
2 interpolación polinomial, 22
2.1 Introducción, 22
2.2 Interpolación lineal, 22
2.3 Formula de interpolación de LaGrange, 24
2.4 Interpolaciones de Newton hacia adelante y hacia atrás en puntos con igual separación, 32
2.5 Interpolación de Newton en puntos con separación no uniforme, 40
2.6 Interpolación con raíces de Chebyshev, 43
2.7 Polinomios de interpolación de Hermite, 47
2.8 Interpolación en dos dimensiones, 50
2.9 Extrapolaciones, 51
3 Solución de ecuaciones no lineales, 62
3.1 Introducción, 62
3.2 Método de bisección, 63
3.3 Método de la falsa posición y método de la falsa posición modificada, 68
3.4 Método de Newton, 73
3.5 Método de la secante, 77
3.6 Método de sustitución sucesiva, 79
3.7 Método de Bairstow, 82
4 Integración numérica, 109
4.1 Introducción, 109
4.2 Regla del trapecio, 110
4.3 Regla de 1/3 de Simpson, 115
4.4 Regla de 3/8 de Simpson, 119
4.5 Formulas de Newton-Cotes, 120
4.6 Cuadraturas de Gauss, 123
4.7 Integración numérica con limites infinitos o singularidades, 130
4.8 Integración numérica en un dominio bidimensional, 135
5 Diferenciación numérica, 155
5.1 Introducción, 155
5.2 Uso del desarrollo de Taylor, 1.56
5.3 Algoritmo genérico para obtener una aproximación por diferencias, 163
5.4 Uso de los operadores de diferencias, 166
5.5 Uso de la diferenciación de los polinomios de interpolación de Newton, 168
5.6 Aproximación de derivadas parciales por diferencias, 171
6 Algebra lineal numérica, 184
6.1 Introducción, 184
6.2 Eliminaciones de Gauss y Gauss-Jordan para problemas ideales sencillos, 185
6.3 Pivoteo y eliminación canónica de Gauss, 191
6.4 Problemas sin solución única, 195
6.5 Matrices y vectores, 196
6.6 Inversión de una matriz, 203
6.7 Descomposición LU, 207
6.8 Determinantes, 212
6.9 Problemas mal condicionados, 216
6.10 Solución de N ecuaciones con M incógnitas, 218
7 Cálculo de valores propios de una matriz, 238
7.1 Introducción, 238
7.2 Método de interpolación, 243
7.3 Método de Householder para una matriz simétrica, 246
7.4 Métodos de potencias, 250
7.5 Iteración QR, 253
8 Ajuste de curvas, 274
8.1 Introducción, 274
8.2 Regresión lineal, 274
8.3 Ajuste de curvas con un polinomio de orden superior, 278
8.4 Ajuste de curvas mediante una combinación lineal de funciones conocidas, 280
9 Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con valor o condición inicial, 289
9.1 Introducción, 289
9.2 Métodos de Euler, 292
9.3 Métodos de Runge-Kutta, 299
9.4 Métodos predictor-corrector, 312
9.5 Más aplicaciones, 321
9.6 EDO rígidas, 329
10 Problemas de ecuaciones diferenciales con valores en la frontera, 351
10.1 Introducción, 351
10.2 Problemas con valores en la frontera para varillas y láminas, 353
10.3 Algoritmo de solución por medio de sistemas tridiagonales, 358
10.4 Coeficientes variables y retícula con espaciamiento no uniforme en la geometría laminar, 360
10.5 Problemas con valores en la frontera para cilindros y esferas, 364
10.6 Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales con valores en Ia frontera, 366
10.7 Problemas de valores propios en ecuaciones diferenciales ordinarias, 368
10.8 Análisis de convergencia de los métodos iterativos, 375
10.9 Doblamiento y vibración de una viga, 379
11 Ecuaciones diferenciales parciales elípticas, 407
11.1 Introducción, 407
11.2 Ecuaciones en diferencias, 409
11.3 Panorama de los métodos de solución para las ecuaciones en diferencias elípticas, 426
11.4 Métodos de relajación sucesiva, 427
11.5 Análisis de convergencia, 433
11.6 Cómo optimizar los parámetros de iteración, 442
11.7 Método implícito de la dirección alternante (IDA), 447
11.8 Métodos de solución directa, 450
12 Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, 470
12.1 Introducción, 470
12.2 Ecuaciones en diferencias, 471
12.3 Análisis de estabilidad, 478
12.4 Métodos numéricos para problemas parabólicos bidimensionales, 484
13 Ecuaciones diferenciales hiperbólicas, 489
13.1 Introducción, 489
13.2 Método de características, 491
13.3 Métodos de diferencias (exactas) de primer orden, 495
13.4 Análisis del error por truncamiento, 501
13.5 Esquemas de orden superior, 504
13.6 Esquemas de diferencias en La forma conservativa, 508
13.7 Comparación de métodos mediante ondas de pruebas, 512
13.8 Esquemas numéricos para EDP hiperbólicas no Lineales, 512
13.9 Esquemas de flujo corregido, 516
Apéndices
A Error d las interpolaciones poligonales, 524
B Polinomios de Legendre, 529
C Calculo de diferencias de orden superior con el operador de traslación, 53 1
D Obtención de EDP hiperbólicas unidimensionales para problemas de flujo, 533
E Disminución de la variación total (TVD), 535
F Obtención de las ecuaciones modificadas, 537
G Interpolación con splines cúbicos, 540
H Interpolación transfinita bidimensional, 549
lndice, 565
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