Este libro corresponde al tomo III de la serie de Cálculo aplicado. Competencias matemáticas a través de contextos. Con esta obra se culmina una propuesta que destaca el qué, cómo y para qué enseñar-aprender el Cálculo de una y varias variables.
La obra refleja nuestro interés por lograr en los estudiantes el aprecio del conocimiento matemático en su calidad de herramienta útil para resolver problemas en contextos reales afines a sus aspiraciones académicas; de esta forma respondemos a la cuestión de para qué se enseña o se aprende Cálculo.
Qué enseñar o aprender de Cálculo se construye en atención al para qué. Nociones, procedimientos y objetos matemáticos surgen como herramientas óptimas para el tratamiento de las problemáticas propuestas.
Cada tomo de esta colección se centra en una problemática cuyo tratamiento provoca un quehacer matemático donde nociones, procedimientos y objetos matemáticos encuentran una razón de ser. En el tomo I se analiza la problemática de predecir el valor de una magnitud que está cambiando. El tratamiento a esta predicción conduce a construir y dar significado a nociones y procedimientos asociados a la razón de cambio y al cambio acumulado. Las nociones de derivada e integral junto con los procesos de derivación e integración surgen con el significado adecuado y preciso para esta práctica.
En el tomo II, la atención se centra en la problemática de calcular el valor de una magnitud asociada a un todo, dividiéndolo en partes. El tratamiento a esta problemática da lugar al surgimiento de la noción de diferencial como el valor de una magnitud infinitamente pequeña, junto con el de suma o integral. Dividir el todo en partes infinitamente pequeñas, calcular las magnitudes correspondientes a ellas y sumarlas es parte de un proceso medular que responde precisamente al requerimiento de la problemática en cuestión. La idea de tomar un elemento diferencial para luego calcular la magnitud completa (la íntegra, la entera) integrando, surge de esta misma práctica. Es importante mencionar que la idea de la toma del elemento diferencial constituye una estrategia frecuentemente utilizada en ingeniería para explicar fórmulas o conceptos propios de ésta. De hecho, la consideración para la enseñanza-aprendizaje de estas nociones y procedimientos, que constituyen poderosas herramientas para la comprensión profunda de los fenómenos que se estudian en ingeniería, establece una distancia significativa entre esta propuesta y las tradicionales en cuanto éstas ni siquiera reconocen la existencia de tales herramientas matemáticas.
Cálculo Aplicado: Competencias matemáticas a través de contextos – Tomo I
En este tomo III se considera la problemática de dar sustento matemático o, dicho de otra manera, de matematizar dos nociones fundamentales de la Física: el flujo y la circulación. Surgidas de la Hidrodinámica, estas nociones fueron pronto utilizadas en otras áreas de la Física, por ejemplo: del flujo eléctrico, circulación del campo magnético, flujo de calor, etc.
Para demostrar la importancia que tienen estas dos nociones para la Física y, por lo tanto, para la ingeniería, basta señalar lo que afirma Richard Feynman en su libro de Física, volumen 2: “Solamente con estas dos nociones —flujo y circulación— podremos describir de una vez las leyes de la electricidad y el magnetismo”.
En el tomo actual buscamos que el estudiante logre comprender la lectura que en términos de flujo y circulación se da en la Física en el estudio de fenómenos de diversa naturaleza con las diferentes representaciones matemáticas que la acompañan. Así, por ejemplo, si bien es cierto que las leyes de la electricidad y el magnetismo pueden describirse en términos de flujo y circulación, es importante que el estudiante comprenda el porqué de las expresiones matemáticas involucradas en estas leyes.
Cálculo Aplicado: Competencias matemáticas a través de contextos – Tomo II
Ahora bien, cómo lograr tal propósito corresponde con la forma en que van construyéndose los objetos matemáticos en atención a problemáticas que, iniciando con el tratamiento a situaciones particulares, simples y conocidas, desembocan en aquellas donde la generalidad predomina. Así, aunque la idea es arribar finalmente a la expresión matemática del flujo de un campo en general con la que conceptos como el flujo del campo eléctrico, por ejemplo, son representados, el estudio del flujo se inicia con el fenómeno que originó el término: el flujo de agua, que en principio resulta familiar al estudiante.
El campo de velocidades del agua en movimiento dará paso a la idea de campo vectorial en general. El cálculo de flujo en situaciones simples como aquellas donde el campo de velocidades es constante y la superficie a través de la cual se calcula es plana, devendrá en el cálculo del flujo de un campo a través de una superficie curva en general. Con la misma idea de transitar de lo restrictivo, aunque simple y familiar, a lo más general, el primer acercamiento a la circulación es mediante el concepto de trabajo en su versión más simple: el trabajo efectuado por un campo de fuerzas constante en dirección de un desplazamiento rectilíneo; eventualmente la operación de calcular el trabajo es extendido al caso de tener un campo y una curva en general.
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