Al repasar el índice de este libro se verá que en él se estudian la mayoría de los temas incluidos ordinariamente en los tratados de “Cálculo Superior”. El propósito del autor ha sido ofrecer una exposición fiel, rigurosa y moderna de la materia y a la vez exenta de vana erudición. La mayor parte de los teoremas “difíciles” que en muchos textos de Cálculo se omiten o tratan superfidalmente, son demostrados aquí rigurosamente. Con frecuencia, algunos de ellos se consideran excesivamente difíciles para ser tratados en los cursos llamados de “Cálculo Superior”, pero por otra parte resultan elementales en un curso de Teoría de Funciones reales o complejas. Al incluir tales teoremas en este libro se contribuye a llenar el vacío existente entre los cursos ordinarios de Cálculo y los superiores de Análisis, y, lo que es más importante, a iniciar al lector en el pensamiento abstracto del que está impregnada la Matemática moderna.
En líneas generales el contenido del libro es el siguiente:
Un capítulo dedicado a la teoría de los conjuntos abstractos que contiene una formulación precisa del concepto de fundón.
Topología de conjuntos de puntos en el espacio euclídeo de n dimensiones.
Estudio completo de la diferenciación.
Discusión elemental de la conexión.
Amplio estudio de la integral de Riemann-Stieltjes, incluyendo la integración compleja y discusión sobre el número de giros.
Estudio de la medida de Jordan y de la medida exterior de Lebesgue.
Demostración del teorema de Green para regiones planas limitadas por curvas rectificables de Jordan arbitrarias.
Detallado estudio de las superficies y de las integrales de superficie.
Exposición completa de la inversión del paso al límite.
Un capítulo sobre las series y las integrales de Fourier, que incluye el teorema general del mismo autor, el teorema de convolución para las transformadas de Fourier y la fórmula de inversión para las transformadas de Laplace.
Introducción a la teoría de fundones de una variable compleja.
Como se ve, hay suficiente materia para un curso completo, pero algunas partes pueden omitirse sin perturbar la continuidad de la exposición. La obra contiene cerca de 500 ejercicios, muchos de los cuales han sido pensados para ilustrar la teoría general y para mostrar los puntos de la misma cuya omisión puede conducir a error.
Contenido:
Capítulo 1. Sistemas de números reales y complejos
Capítulo 2. Nociones fundamentales de la teoría de conjuntos
Capítulo 3. Elementos de la teoría de conjuntos de puntos
Capítulo 4. Los conceptos de límite y continuidad
Capítulo 5. Diferenciación de funciones de una variable real
Capítulo 6. Diferenciación de funciones de varias variables
Capítulo 7. Aplicaciones de la diferenciación parcial
Capítulo 8. Funciones de variación acotada, curvas rectificables y conjuntos conexos
Capítulo 9. Teoría de la integración de Riemann-Stieltjes
Capítulo 10. Integrales múltiples e integrales de línea
Capítulo 11. Análisis vectorial
Capítulo 12. Series y productos infinitos
Capítulo 13. Sucesiones de funciones
Capítulo 14. Integrales impropias de Riemann-Stieltjes
Capítulo 15. Series de Fourier e integrales de Fourier
Capítulo 16. Teorema de Cauchy y cálculo de residuos
Índice de símbolos especiales
Índice alfabético
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