El presente libro, dedicado al Algebra, está destinado, en primer lugar, a los estudiantes que preparan la licenciatura de Matemáticas generales y Física y el ingreso en las escuelas técnicas superiores en Matemáticas especiales. Igualmente se destina a toda persona que precise buenos conocimientos de base en Algebra en el ejercicio de su actividad profesional (físicos, ingenieros, técnicos). Por ello no se ha considerado un deber el limitamos estrictamente a los programas oficiales de Matemáticas especiales. Este volumen comprende, pues:
El desarrollo de esos programas, que son muy semejantes.
Ciertas nociones que han sido estudiadas en los últimos cursos del bachillerato y no forman parte, stricto sensu, del programa universitario: enteros naturales (me he aprovechado de ello para demostrar, a partir de un pequeño número de axiomas, las propiedades de los conjuntos finitos a los que constantemente se hace alusión de modo consciente o no), enteros racionales y divisibilidad; igualmente he tratado de dar una definición correcta de los ángulos y de su medida.
Un pequeño número de cuestiones que el lector podrá necesitar en sus estudios posteriores y que raramente son tratadas en otros textos, por la equívoca razón de que son cuestiones bien conocidas, y que en otro tiempo se encontraban en los programas usuales universitarios y de escuelas técnicas superiores (grupo circular, polinomios y fracciones racionales simétricas, resultante).
Debido a este contenido resulta que el libro es grueso. Naturalmente que ni el autor ni, creo yo, ningún profesor puede o querrá enseñar todas estas materias en un año. Pero, por el contrario, puedo decir que en el transcurso de mis quince años de enseñanza en escuelas técnicas superiores y de siete años en Matemáticas generales no existe una sola cuestión de las tratadas en este libro que yo no haya expuesto por lo menos una vez a estudiantes del nivel considerado. Desde luego, siempre es delicado la fijación del límite entre lo que se debe tratar y lo que es preciso omitir.
Nos ha parecido conveniente en este libro de iniciación al Algebra lineal el estudio de los espacios vectoriales al constituir un todo coherente y tener aplicaciones suficientemente ricas y dejar de lado los módulos cuyo estudio puede desorientar a los principiantes. A fortiori no hemos hablado ni de producto exterior ni de producto tensorial, a pesar de que estas nociones sean, a los ojos de quien las conoce, subyacentes a las de determinante y de forma bilineal.
Por el contrario, en el estudio de los grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, hemos hecho una amplia llamada a las nociones de relación de equivalencia compatible con la estructura estudiada, de homomorfismo, de sub- grupo distinguido y de ideal, porque aclaran profundamente cuestiones que, indiscutiblemente, están en el centro del programa.
Tampoco hemos querido limitarnos a la definición de los ideales de Z y de K[X], porque no siendo principales una gran cantidad de anillos, como K[X, Y], e incluso no factoriales, como Z[i’V5], nos ha parecido que sería falsear el espíritu de los estudiantes dejarles creer que sólo existen ideales principales.
A propósito de dos nociones principales del libro: el anillo de polinomios K[X] y el anillo £(E) de los endomorfismos de un espacio vectorial, hemos presentado la noción de álgebra sobre un cuerpo conmutativo.
En fin, dada la importancia de las formas bilineales y hermitianas en Matemáticas y en Física su estudio ha sido tratado con bastantes detalles (en dimensión finita).
Para limitar las dimensiones del presente volumen, el estudio de los espacios afines ha sido reservado como introducción a lo que tradicionalmente se llama la Geometría analítica.
Contenido:
Presentación a la versión española
Prefacio
1. Conjuntos. Aplicaciones. Relaciones
2. Enteros naturales
3. Leyes de composición
4. Grupos
5. Anillos y cuerpos
6. Números complejos
7. Espacios vectoriales
8. Matrices
9. Determinantes
10. Ecuaciones lineales
11. Polinomios
12. Fracciones racionales
13. Ecuaciones algebraicas
14. Valores y vectores propios de un endomorfismo. Reducción de matrices
15. Formas bilineales simétricas y formas hermitianas
Índice de símbolos
Índice terminológico
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